A Center Manifold Result for Delayed Neural Fields Equations

We develop a framework for the study of delayed neural fields equations and prove a center manifold theorem for these equations. Specific properties of delayed neural fields equations make it impossible to apply existing methods from the literature concerning center manifold results for functional differential equations. Our approach for the proof of the center manifold theorem uses the original combination of results from Vanderbauwhede etal. together with a theory of linear functional differential equations in a history space larger than the commonly used set of time-continuous functions. Key-words: Neural fields equations, space-dependent delays, bifurcation theory, center manifold, functional differential equations. This research was partially supported by the European Union Seventh Framework Programme (FP7/20072013) under grant agreement no. 269921 (BrainScaleS) and by the ERC advanced grant NerVi no. 227747. ∗ IMAGINE/LIGM, Université Paris Est and NeuroMathComp team. † Corresponding author, NeuroMathComp team, INRIA, CNRS, ENS Paris, [email protected] ha l-0 07 19 79 4, v er si on 2 23 J an 2 01 3 Un théorème de variété centrale pour les équations de masses neurales avec délais. Résumé : Dans ce document, nous developpons un cadre théorique pour les équations de masses neurales avec délais et nous prouvons un théorème de variété centrale pour ces équations. Des propriétés spécifiques des équations de masses neurales avec délais rendent difficiles l’application de méthodes existantes issues de la littérature au sujet des variétés centrales pour les équations différentielles fonctionnelles. Nous utilisons, pour la preuve d’un théorème de variété centrale, les résultats de Vanderbauwhede etal. ainsi qu’une théorie des équations différentielles dans un espace des phases plus large que celui des fonctions continues en temps qui est généralement utilisé. Mots-clés : Equations des masses neurales, délais dépendant de l’espace, théorie des bifurcations, variété centrale, équations différentielles fonctionnelles. ha l-0 07 19 79 4, v er si on 2 23 J an 2 01 3 A center manifold result for delayed neural fields equations 3